メルセンヌ数

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p=2ⁿ-1の形の素数をメルセンヌ数（Mersenne number)という．これには、ｎが素数であることが必要であるが、十分ではないことが知られている．

すなわち、

　　　ｎ：合成数　→　2ⁿ-1：合成数

は成立するが、（対偶：2ⁿ-1：素数　→　ｎ：素数　が成立）

　　　n：素数　→　2ⁿ-1：素数

は必ずしも成立しない．(反例　n=11)

この数が無限個あるかどうか不明あり，現在はコンピュータによる素数判定法の改善により、新しいメルセンヌ数が発見されつつある．

また、メルセンヌ数に関連して2ⁿ＋1の形をした素数をフェルマー数（Fermat number)とよぶ．

このメルセンヌは17世紀に生きたフランスの数学者かつ僧(1558〜1648)である．


今までに発見されているメルセンヌ数

現時点（2004年）で、２^ｎ−１が素数であることが発見されているｎの値と発見者、発見年は次のとおりである．
この素数判定には、過去にいろいろな数学者が挑戦したが、現在はコンピュータによる判定に基づいて発見されている．