第2章 グラフィックプログラミング
グラフィックス
さて，まず基本的なグラフィックスを復習しよう．
＊Plot＊コマンド
正弦曲線を描く.
In[1]:=
Out[1]=
複数のグラフを描くにはリスト形式にする．
In[2]:=
Out[2]=
パラメータ表示された曲線は次のコマンド．
In[3]:=
Out[3]=
練習:Doコマンドを用いて,曲線のアニメーションを作成しよう.
次は３次元曲面．
In[4]:=
Out[4]=
練習:Doコマンドを用いて,曲面のアニメーションを作成しよう.
In[5]:=
Out[5]=
以上が基本的なコマンドである．
練習:円錐を作成しよう.
Plotコマンドにオプションをつけてみよう。
Plotコマンドのオプションを調べるには次のようにする．
次は、x,y軸を等スケールにする．
In[6]:=
Out[6]=
プロット枠の縦横比を１：１にする．
In[7]:=
Out[7]=
格子枠を入れてみよう．
In[8]:=
Out[8]=
プロットの範囲（ｙのみ）を指定し、x,y軸の目盛りを設定する．
In[9]:=
Out[9]=
x,yの範囲を指定する．
In[10]:=
Out[10]=
In[11]:=
Out[11]=
長さ0.01とスペ-ス0.02の破線を指定する．
In[12]:=
Out[12]=
グラフに色をつける．(RGBColor[0,0,1],Hue[1,0.9,0.8])
In[13]:=
Out[13]=
グラフにラベルをつける
両軸にはラベルをつけ、ｘ軸は度数法表示にした．
In[14]:=
Out[14]=
In[15]:=
さまざまなオプションをつけた．
In[16]:=
Out[16]=
練習問題1:上の三角関数のグラフに,元のSin Cosのグラフを破線で描き加えてみよう．
Plot3Dにオプションをつけてみよう.
３次元曲面の視点を設定する．これには、直接キー入力するよりも、Input→3D ViewPoint Selectorを使うと便利である．
In[17]:=
Out[17]=
ボックスと軸を消し,格子点の個数を変化させる．
In[18]:=
Out[18]=
照明や陰影のオプションを変える．
In[19]:=
Out[19]=
In[20]:=
Out[20]=
密度グラフ（DensityPlot）
デフォルトでの密度グラフである．
In[21]:=
Out[21]=
いろいろオプションをつける．
In[22]:=
Out[22]=
等高線グラフ(ContourPlot)
密度グラフと同様な出力を行うが,ここでは2つのGraphicオブジェクトを作成し,それを並べて表示する.左がデフォルトの等高線グラフ．DisplayFunction→Identityは表示抑止オプションである．
In[26]:=
Out[26]=
右図でいろいろオプションをつける．
In[27]:=
Out[27]=
GraphicsArrayコマンドで2つの図を並べる．
In[28]:=
Out[28]=
2次元グラフィックス・プリミティブ
Mathematicaでの基本的なグラフィックスの生成方法を述べます.これは次の3つの段階からなる．
・グラフィックスプリミティブの生成(用意されているいろいろなプリミティブ)
・グラフィックスオブジェクトの生成(関数Graphics使用)
・表示(関数Show)
このことを円で行う．
Circle
In[29]:=
In[30]:=
Out[30]=
In[31]:=
Out[31]=
オプションはPlotlコマンドのときと同様．
In[32]:=
Out[32]=
In[33]:=
Out[33]=
その他のプリミティブ(Point,Line,Disk)
基本的な点,線分,円板を描いてみる．
In[34]:=
In[35]:=
In[36]:=
In[39]:=
Out[39]=
オプションをつける．
In[38]:=
Out[38]=
3次元グラフィックス・プリミティブ
3次元図形を生成するステップも2次元と同様である．
In[50]:=
In[51]:=
In[52]:=
In[53]:=
Out[53]=
In[54]:=
Out[54]=
In[55]:=
Out[55]=
In[56]:=
Out[56]=
練習問題1:円錐を作ってみましょう.また,いろいろ視点を変えて描いてみよう．
プロットの仕組み
In[57]:=
Out[57]=
In[58]:=
Out[58]//InputForm=
Graphics[{{Line[{{2.617993877991494*^-7, 2.6179938779914644*^-7}, {0.25488992540742256, 0.25213889196341294},
{0.5328694051959508, 0.5080069997492929}, {0.7939393140028285, 0.7131204212611485}, {1.04500937601917, 0.864929243756943},
{1.1741328775392965, 0.9223551787683757}, {1.2403657810942001, 0.945902740516237},
{1.3122595300248905, 0.9667651045914426}, {1.3813635222545473, 0.9821111970586465},
{1.4117228339769037, 0.9873744690915617}, {1.4451622129766026, 0.9921184097818952},
{1.4766489532819624, 0.9955714086329677}, {1.506146165787852, 0.997910906131906}, {1.5224109849781302, 0.9988296577034247},
{1.5372920787446114, 0.9994387851828285}, {1.545504331691776, 0.9996801745413599},
{1.5498430840253508, 0.9997804888400486}, {1.554468381268543, 0.9998667020589397},
{1.5629353652700015, 0.9999691028010596}, {1.5707960649955088, 0.9999999999999657}}]}},
{PlotRange -> Automatic, AspectRatio -> GoldenRatio^(-1), DisplayFunction :> $DisplayFunction, ColorOutput -> Automatic,
Axes -> Automatic, AxesOrigin -> Automatic, PlotLabel -> None, AxesLabel -> None, Ticks -> Automatic, GridLines -> None,
Prolog -> {}, Epilog -> {}, AxesStyle -> Automatic, Background -> Automatic, DefaultColor -> Automatic,
DefaultFont :> $DefaultFont, RotateLabel -> True, Frame -> False, FrameStyle -> Automatic, FrameTicks -> Automatic,
FrameLabel -> None, PlotRegion -> Automatic, ImageSize -> Automatic, TextStyle :> $TextStyle, FormatType :> $FormatType}]
実はLine文で書かれている．
リストの操作
Mathematicaではリストはもっとも基本的なデータ構造である．Mathematicaにはリストを操作する関数が多くある．特に、グラフィックス、個数の処理、確率を考えるときに便利だ．
リストを作る（その１）
組み込み関数でリストを作る．
In[59]:=
Out[59]=
In[60]:=
Out[60]=
In[61]:=
Out[61]=
In[62]:=
Out[62]=
第２引数で刻み幅を指定できる．
In[63]:=
Out[63]=
乱数も作成できる．
In[64]:=
Out[64]=
練習：Table文で３から３１までの奇数列を作ろう．
リストを作る（その２）
多次元配列のリストを作成する．
In[103]:=
Out[103]=
複数の反覆子がある場合、その順序は重要である．内側のそれぞれ i に対して、外側の j の値が増加してリストを付け加える．
In[104]:=
Out[104]=
行列として表示できる．
In[105]:=
Out[105]//TableForm=
|
|
||||
|
|
||||
|
|
練習：Tableを用いて {{2,3,4},{3,4,5}}を作ろう．
In[106]:=
Out[106]=
In[107]:=
Out[107]=
練習：Tableを用いて {{2},{3,4},{4,5,6}}を作ろう．
In[108]:=
Out[108]=
リストの大きさ
In[109]:=
Out[109]=
In[110]:=
Out[110]=
Lengthはもっとも浅いレベルの大きさを返す．各レベルの大きさを見るには Dimensions を用いる．
In[111]:=
Out[111]=
リストを操作する
マウスでデ-タリストを取得し,それらを操作する．
In[142]:=
Out[142]=
グラフィック枠内において,CTRL+マウスクリック(左下に座標が表示される)で点がプロットされる．この状態でCTRL+C,そしてセルにマウスを移動してCTRL+Vとすると,デ-タがインポ-トできる．
In[143]:=
In[144]:=
Out[144]=
In[145]:=
Out[145]=
In[146]:=
Out[146]=
多次元配列のリストを操作する．
In[147]:=
次は,配列の値を高さとする密度プロット．
In[148]:=
Out[148]=
次は等高線プロット．
In[149]:=
Out[149]=
次は3次元曲面を生成する．
In[150]:=
Out[150]=
以上のようにリストを視覚化できる.これは後の画像処理で詳しく述べる．
練習：自分でリストを作成し、曲面を作成する．
In[152]:=
Out[152]=
Mathematicaでのパターン [ x_ ] （付録）
Mathematicaで関数を定義するときには少し工夫がいる．
In[153]:=
In[154]:=
Out[154]=
これは、記号ｘのみにしか動作せず、不都合である．これに対し、Mathematicaには,パタ-ンマッチングという考え方があり,x_とすることでパタ-ンに適合する変数に対応する関数ができる.
In[155]:=
Out[155]=
In[156]:=
Out[156]=
Mathematicaでの等号=と:= （付録）
定義する関数がもう少し複雑になると、さらに工夫する必要がある．
In[157]:=
In[158]:=
In[159]:=
Out[159]=
=は即時定義(Set) といい、左辺の内容を右辺に代入する．つまり代入の規則を優先して評価するだけである．これに対して、：＝ は遅延定義（SetDelayed)といい、右辺をすぐには評価せず、Expand[x^2]全体を保持するので、関数が実際に使われるときに初めて評価する．特に：＝は関数を定義するときに非常に有効である．
In[160]:=
|
In[161]:=
|
この辺の詳細は,また後のプログラミングのところで説明する．
いろいろな平面曲線
陰関数表示( ImplicitPlot )
まずパッケージをロードする．
In[162]:=
In[163]:=
Out[163]=
パラメータ表示( ParametricPlot )
リストを作成して曲線をプロットする．これは表計算ソフトでの描画方法である．サイクロイドを例に説明します。
In[178]:=
In[179]:=
Out[179]=
組み込み関数を用いると、
In[180]:=
Out[180]=
もっと一般的にサイクロイドを定義する．
In[181]:=
In[182]:=
Out[182]=
課題：定数a ,bにいろいろな値を代入して、サイクロイドを描いてみよう．
課題：レムニスケート，カージオイド，シッソイド，トラクトリクス，リマソンなどの曲線を描いてみよう．
In[183]:=
In[184]:=
In[185]:=
In[186]:=
In[187]:=
極座標表示( PolarPlot )
極座標系とは,平面上では,原点を基準に1つの動径 r と1つの偏角 θ を対応させる座標系のことである．直交系( x, y )と( r, θ )の関係は，x = cosθ, y = sinθ が成り立つ．
Mathematicaでこれを実現するには，次のパッケージをロードする必要がある．
In[188]:=
らせんを描くには次のようにする．
In[189]:=
Out[189]=
次はリマソンの極表示．
In[190]:=
In[191]:=
Out[191]=
課題：定数 a, b, n にいろいろ値を代入して，リマソンを描いてみよう．
アニメーションに挑戦
ここではサイクロイド例に少し高度なアニメ-ションに挑戦しよう．
Append
In[192]:=
In[193]:=
In[194]:=
Out[194]=
In[195]:=
Out[195]=
AppendTo
In[196]:=
In[197]:=
Out[197]=
In[198]:=
Out[198]=
今度は,リストが再設定される．この原理をアニメーションに使う．
サイクロイドのアニメーション
次がサイクロイドを表すパラメータ表示．
In[210]:=
ころがる線分を設定する．
In[211]:=
接円の中心．
In[212]:=
接円を設定する．
In[214]:=
In[215]:=
In[216]:=
アニメーション ( 残像つき ）
In[217]:=
In[218]:=
In[218]:=
In[218]:=
In[219]:=
リマソンのアニメーション
In[245]:=
課題：いろいろな曲線のアニメーションを描いてみよう.
いろいろな曲面（Plot3D, ParametricPlot3D)
3次元曲面も平面曲線を描く要領とほぼ同じである．ここではいろいろな曲面を鑑賞しよう．基本的な曲面（球面やトーラス，円錐，円柱など）はパッケージ（Graphics`Shapes`）を活用するとよい．ここではそれ以外の曲面を取り上げる．
放物面
In[221]:=
双曲放物面
In[222]:=
猿の腰掛け
In[223]:=
ホイットニ-の傘
In[224]:=
8の字曲面
In[225]:=
3次元曲面を描く．
In[226]:=
Out[226]=
課題:いろいろ変数を変えて,オリジナル曲面を描いてみよう.(名前をつけるといいかもしれません)
円錐曲線の切断
円錐を平面で切断してできる曲線を実際にMathematicaで実現させよう．まず、円錐面を媒介変数で定義する．
In[227]:=
次に切断面を定義する．
In[228]:=
ｘｙ平面に平行な平面で切断する．（アニメーション）
In[229]:=
課題：平面をいろいろ変えて、切断面を観察しよう．
Module：局所変数と大域変数
In[230]:=
これは変数 x が大域変数として値2であると定義している．
In[231]:=
In[232]:=
Out[232]=
In[233]:=
Out[233]=
どうしてこうなるかというと,xは依然として2のままであるからでる．
In[234]:=
|
シンボルの値を解放するにはClearを用いる．
In[235]:=
In[236]:=
さらに,Moduleを用いて局所的にのみ有効な変数を定義することができる． (下の式は複合式といって、最後のみ出力する）
In[237]:=
Out[237]=
これは大域変数と独立に扱うことができる．
In[238]:=
Out[238]=
演習課題１：サイクロイドのアニメーション(発展)
サイクロイドをいろいろ変形するために，変数a ,b でコントロールする関数を作るためには，次のプログラムでは不十分だ．どのように修正すればいいだろうか．
In[2]:=
In[4]:=
これはうまくいく．しかし，次はうまくいかない．
In[247]:=
演習課題２： いろいろなアニメーションを作ってみよう.
例：いろいろな図形をいろいろ曲線上で転がしてみよう.
MathematicaのWeb化
gifファイルの生成
簡単なアニメーションを作り、javascript でweb化してみよう．Mathematicaで作成したアニメーションは、ファイル保存形式をHTMLと指定すると、自動的にgifファイル（ index_i .gif ) が生成される．
In[242]:=
javascriptの利用
javascriptに関しては,別紙資料を参考にして下さい.また、gif アニメーション作成に関しては、専用ソフト（フリーウエアもしくはホームページビルダーのWebアニメータなど）が利用できます．
サイクロイドのアニメーション(発展)
In[243]:=
In[244]:=
